前言

        上一篇文章中我们学习了简单DP，今天我们来学习一种也很常见的DP——背包DP。

程序设计思路

        背包DP以01背包和完全背包为基础，其他的背包DP都由这两种延伸出去，先看01背包：

        01背包是最简单的背包DP，它是指有n样物品，第i样物品的价值为x_i，所占用的容量为y_i，你有一个容量为m的背包，要求你用这个背包装下价值最高的物品，每种物品只能装一次。这里每样物品的状态都只有装或不装。故我们可以列出状态转移方程：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-y_i]+x_i（f[i][j]表示在第1到第i个物品中选容量为j的物品能获得的最多的价值）。

        完全背包与01背包的区别在于它每样物品可以选无数次，但它的状态转移方程和01背包有不同。我们可以列出状态转移方程：f[i][j]=max(f[i-1][j-k*y_i]+k*x_i)（这里的k是指购买了k件i物品，是for循环中的变量），这样做的时间复杂度为O(n³)，明显偏慢了。但是我们还有下面的优化：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-yi]+xi)，因为我们在进行这次转移前就已经充分的考虑了。这个优化必须自己想清楚。

代码实现

        来看一个01背包问题：

        很明显，这是一道背包题。直接看代码：

#include <bits/stdc++.h>

int n,m,a[105],dp[105][1005];//n、m、a如题意，dp指上文中i

int main(){

	scanf("%d%d",&n,&m);

	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);

	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){//分类讨论，判断能不能买

		if(j==a[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j]+1;

		if(j>a[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-a[i]];

		if(j<a[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j];

	}

	printf("%d",dp[n][m]);

	return 0;

}

        DP注重的是自己的理解，而且讲解无法达到很好的效果，请自行理解源码~

结语

        背包问题是DP中较为简单的一类，要想学好DP，就应该多刷题，以此总结经验。我是faryou，再见！

本文链接：https://blog.faryou.eu.org/post/106.html 转载需经作者授权！