前言

        上一篇文章中介绍了递推，其实也是为今天的DP打好基础。

程序设计思路

        DP本质上就是对题目进行分类讨论，列出其不同情况下的状态转移方程，然后套上循环求解。

        DP的种类有很多，其应用范围几乎涵盖了全部的算法内容，理论上来说，只要你有能力列出状态转移方程，DP可以解决几乎一切问题。今天我们讲一下简单的DP，了解一下DP的思路。

代码实现

        由于DP的可拓展性太强，今天我破例用两道题进行讲解：

        这道题要求我们得到最大的和。这里有一个思路：每次将金字塔底部相邻的两个数相比较，将大者加到这两个数正上方的数上。即：f[x][y]=max(f[x][y+1],f[x+1][y+1])+f[x][y]（金字塔存储为直角三角形）。下面是代码：

#include <bits/stdc++.h>

int r,f[1005][1005];//r如题意，f为DP用数组

int main(){

	scanf("%d",&r);

	for(int i=0;i<r;i++) for(int j=0;j<i+1;j++) scanf("%d",&f[i][j]);//读入数据

	for(int i=r-1;i>0;i--) for(int j=0;j<r-1;j++) f[i-1][j]+=max(f[i][j],f[i][j+1]);//递推式

	printf("%d",f[0][0]);//输出塔尖

	return 0;

}

        这道题是经典动规题，我们通过层层上推求出结果。再来看下面这题：

        本题初看没有思路，但是细细一想，一个长度为n的上升子序列可以分为前面长度为n-1的上升子序列和后面的一个数，那么我们可以先把所有f[x]都初始化为1，之后用双层循环（双指针），将后面的大数和前面的子序列拼为一个序列。由此，我们可以列出这样的方程：f[x]=max(f[i],f[j-1])（f[x]表示从第1到第x个数的最长上升子序列长度），下面是代码：

#include <bits/stdc++.h>

int n,ans=0,a[5005]={0},f[5005]={0};

int main(){

	scanf("%d",&n);

	for(int i=1;i<=n;i++){

		scanf("%d",&a[i]);

		f[i]=1;

	}//以上为读入+初始化（一个数自己也算最长上升子序列）

	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=i-1;j++) if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);//递推式，当找到一个更大的数时，将其加入前面的子序列

	for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);//拿到最长长度

	printf("%d",ans);//输出

	return 0;

}

结语

        其实DP本身的思路不难，关键在于你能不能找出所有情况。下篇文章，我将介绍背包DP。我是faryou，再见！

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